关于动量定理的修正 _关于

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说动量前先说一说冲量。作用在物体上的力和作用时间的乘积叫做该力对这个物体的冲量。用公式表示为
I=F·t
在国际单位制中，冲量的单位是牛·秒，符号是N·S。
冲量是矢量。冲量是过程量，反应了力对时间的积累效应。

在物理学中，物体的质量m和速度v的乘积叫做动量。用公式表示为 p=m·v
动量在国际单位制中的单位为 kg·m/s 。
动量是矢量，它的方向与速度的方向相同。
物体所受合外力的冲量等于物体动量的增量，叫做动量定理。
即I（冲量）=F×t=m×Vt－m×Vo
=m×（Vt－Vo）
这个定理的表述是不完美的，正因为它的不完美，导致在实际计算中矛盾重重，所以必须对它加以修正。
因为在末速度Vt的方向与初速度Vo的方向一致的情况下可以这样计算，如果末速度Vt的方向与初速度Vo的方向不一致，就无法这样计算了。
如果合外力F的方向与初速度Vo的方向不一致，那么末速度Vt的方向与初速度Vo的方向就会不一致，就无法直接相减。所以这样计算小球动量的变化是错误的。
那么怎么计算才是正确的呢？
首先应当求出小球的末速度Vt在合外力F方向上的速度分量Vt′，然后求出初速度Vo在合外力F方向上的速度分量Vo′，这样Vt′、Vo′、F 三者的方向一致，可以进行相关运算了。
I（冲量）=F×t=m×（Vt′－Vo′）

正确的动量定理的表述是：
物体所受合外力的冲量等于物体在合外力方向上的动量的增量。
释意：一个物体所受合外力的冲量等于物体在合外力方向上的末动量减去合外力方向上的初动量的差。
用几道例题进行解释说明。
第1题：如下图（1 ），一个小球A，质量是1千克（1kg），初速度Vo是3米/秒（3m/s）。此时受到一个恒力F的撞击，力F的方向与小球初速度Vo的方向相同，作用时间极短，小球的末速度Vt是5米/秒（5m/s），那么小球在力F方向上的动量是如何变化的？

解：据物理课本上的知识得：
F×t=m×Vt－m×Vo
=m×（Vt－Vo）
=1kg×（5m/s－3m/s）
=2 kg·m/s
这个计算过程与结果都是对的。因为Vt、Vo的方向一致，并与力F的方向也一致。
【关于动量定理的修正】

那么，当合外力方向与初速度方向不一致时，该如何计算呢？
第2题：如图（2 ）：一个小球A，质量是1千克（1kg），有一个向右方向的初速度Vo，Vo等于3米/秒（3m/s）。此时受到一个斜上方方向的恒力F的撞击，力F的方向与Vo的方向成60o夹角，小球末速度是Vt，Vt等于3√3 米/秒。力F与末速度Vt的夹角是30度。
问小球的动量在力F方向上是如何变化的？

解：物理课本上的知识告诉我们：物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化。
即I（冲量）=F×t=m×Vt－m×Vo
=m×（Vt－Vo）
这个公式是有问题的。因为Vt的方向与Vo的方向并不一致，所以无法直接相减；并且Vt、Vo的方向不与力F的方向一致。所以这样计算小球动量的变化是错误的。
那么怎么计算才是正确的呢？
首先应当求出小球的末速度Vt在力F方向上的速度分量Vt′，然后求出初速度Vo在力F方向上的速度分量Vo′，这样Vt′、Vo′、F 三者的方向一致，可以进行相关运算了。
I（冲量）=F×t=m×（Vt′－Vo′）
即一个物体所受合外力的冲量等于物体在合外力方向上的末动量减去合外力方向上的初动量。

上面这个题目，先求出物体的末速度在合外力方向上的速度分量，这个速度分量是√3/2 × 3√3 = 4.5m/s。
再求物体的初速度在合外力方向上的速度分量。
将初速度 3米/秒进行分解，得到在力F方向上的速度分量是1.5米/秒。
I（冲量）=F×t=m×（Vt′－Vo′）
=1kg ×（4.5m/s－1.5m/s）
=3 kg·m/s
如果这道题求在末速度方向上的动量变化呢？
那么末速度在末速度方向上的速度分量就是它本身，等于3√3 m/s，初速度与合速度的夹角是30度，
初速度在合速度方向上的速度分量是1.5√3 m/s

I（冲量）=F×t=m×（Vt′－Vo′）
=1kg ×（3√3 m/s－1.5√3 m/s）
=1.5 √3 kg·m/s
如果这道题求在初速度方向上的动量变化呢？
先求出末速度3√3 m/s 在初速度方向上的速度分量，这个速度分量是4.5m/s
初速度在初速度方向上的速度分量等于它本身，等于3m/s

I（冲量）=F×t=m×（Vt′－Vo′）
=1kg ×（4.5 m/s－3m/s）
=1.5 kg·m/s
关于物体的动量变化还有其他几种情况，下面一一说明。
第3题：如图（3 ）：

图（3 ）一个小球A，质量是1千克（1kg），有一个向右方向的初速度Vo，Vo等于3米/秒（3m/s）。此时受到一个竖直向上方向的恒力F的撞击，力F的方向与Vo的方向成90o夹角，让小球在力F的方向产生了3米/秒的速度。
求小球在力F方向上的动量变化。
解：末速度Vt在力F方向上的速度分量等于力F对小球产生的速度 3 m/s。
力F的作用方向与初速Vo垂直，则Vo在力F方向上的速度分量是0。
所以小球的动量变化是
I（冲量）=F×t=m×（Vt′－Vo′）
=1kg ×（3m/s－0m/s）
=3 kg·m/s
第4题：如图（4）

一个小球A，质量是1千克（1kg），有一个向右方向的初速度Vo，Vo等于3米/秒（3m/s）。此时受到一个向左上方方向的恒力F的撞击，力F的方向与Vo的方向成120o夹角，与末速度的夹角是60度。末速度等于3 m/s
求小球在力F方向上的动量变化。

解：先求出末速度在力F方向上的速度分量，等于1.5m/s.
初速度在力F方向上的速度分量是一个负值，等于－1.5 m/s
所以物体A的动量变化是：
I（冲量）=F×t=m×［Vt′－Vo′］
=1kg ×［1.5m/s－（－1.5m/s）］
=3 kg·m/s
第5题：如图（5）

一个小球A，质量是1千克（1kg），有一个向右方向的初速度Vo，Vo等于3米/秒（3m/s）。此时受到一个向左方向的恒力F的撞击，力F的方向与初速度方向成180度。末速度是2 m/s，方向与力F方向相同。求在力F方向上的动量变化。
解：末速度与力F方向相同，在力F方向上的速度分量就是它本身，等于2m/s
初速度Vo在合力F方向上的速度分量是负值，等于－3 m/s 。
I（冲量）=F×t=m×（Vt′－Vo′ ）
=1kg ×［2m/s－（－3m/s）］
=5 kg·m/s
说明：当初速度方向与合外力方向之间的夹角大于90度时，初速度在合外力方向上的速度分量即为负值。
百度百科上关于动量定理的介绍中有两道例题，我发现他们的计算出现了严重错误，特地在此指出来。
原题及解析如下。
原题第一题：
如图
质量为m的物体放在水平地面上，在与水平面成θ角的拉力F作用下由静止开始运动，经时间t，速度达到v，在这段时间内拉力F与重力mg冲量大小分别是（）参考答案：D
A. F·t 、 0
B. F·t·cosθ 、 0
C. m·v 、 0
D. F·t 、 m·g·t
我的解析：
以上四个答案没有一个是正确的。
首先解答这段时间内拉力F的冲量大小。
原题的提问就有问题，拉力F有冲量吗？力是力，冲量是冲量，是不能说“力的冲量”的。应该说“物体在力F方向上的冲量” 。
先求物体的末速度在拉力F上的速度分量，等于v·cosθ

物体的初速度是0，在拉力F上的速度分量当然也是0
所以拉力F的冲量大小等于m·（v·cosθ－0）
等于 m·v·cosθ
也可以用力与时间的乘积表示。
时间是t，这已经确定，但物体在拉力F方向上实际受到的力却不是F 。因为重力mg会在拉力F的反方向产生一个阻碍的力量。示意图如下：

重力mg在拉力F的反方向上产生的力是mg·sinθ
所以物体在力F方向上受到的力等于
（F－ mg·sinθ ），用（F－ mg·sinθ ）与时间t相乘，就得到物体在力F方向上的冲量变化，等于（F－ mg·sinθ ）·t
总结：物体在力F方向上的冲量变化，等于m·v·cosθ 或（F－ mg·sinθ ）·t，两个答案都正确。
接着分析“重力mg冲量的大小”
首先原题的提问还是有问题，重力是重力，冲量是冲量，不能说重力的冲量，应该说“物体在重力方向上的冲量”
我的解析：
由于物体的末速度v的方向与重力的方向垂直，所以末速度在重力方向上的速度分量是0 。
初速度是0，在重力方向上的初速度分量当然是0 。
所以物体在重力方向上没有速度变化，当然没有动量变化。
所以物体在重力方向上的动量变化是 0。

百度百科上物理第2题：
如图所示，质量为2kg的物体，沿倾角为30度
，高为h=5米的光滑斜面，由静止从顶端下滑到底端的过程中（g=10m/s^2），求
（1）重力的冲量
（2）支持力的冲量
（3）合外力的冲量

原作者解析：此题物体下滑过程中各力均为恒力，所以只要求出力作用时间便可用I=Ft求解。
由牛顿第二定律F=ma 得，下滑的加速度
a= g·sinθ = 5 m/s^2
由s= （1/2）·a· t^2，得下滑时间
t^2=（2s）/a = 2×10÷5 秒^2= 4 秒^2
t= 2秒
重力的冲量I=mgt=2×10×2Ns=40Ns
支持力的冲量I=Ft=mgcos30o·t= 20√3Ns
合外力的冲量I=F（合）t=mgsin30o·t=20Ns

我的解析：

原题计算的物体在重力方向上是冲量变化，计算严重错误。
原题计算的物体在支持力方向上是冲量变化，计算严重错误。
原题计算的物体在合外力方向上是冲量变化，计算正确。
首先来计算物体在重力方向上的冲量变化。
由牛顿第二定律F=ma 得，下滑的加速度
a=g·sinθ= 5m/s^2
由s=（1/2（）·a·t^2，得下滑时间
t^2= 2s/a = 2×10÷5 秒^2= 4 秒^2
t=2秒

下滑时间等于2秒，这是对的。然后末速度Vt=at = 5 m/s^2 × 2 s = 10 m/s
末速度在重力方向上的速度分量是 10 m/s × sin30o=10 m/s ×（ 1/2）= 5m/s
初速度为0m/s
所以物体在重力方向上的冲量变化是 m（Vt－Vo）=2kg ×（5m/s－0m/s）= 10 Ns
也可以用力与时间的乘积来计算。
如图
由于重力mg存在，物体对斜坡的压力等于（√3/2 ）mg
斜坡对物体的支持力等于物体对斜坡的压力，等于（√3/2 ）mg，支持力在竖直方向上的分量等于
（√3/2）mg × （√3/2 ）=（3/4）·mg
所以物体在重力方向受到的力等于［mg －（3/4）mg ］，等于（1/4）mg。
物体在重力方向上的动量变化等于
Ft=（1/4）mg × t
=（1/4 ）× 2 kg × 10m/s^2 ×2s
=10 Ns
接着分析物体在支持力方向上的冲量变化。
由于物体的末速度与支持力始终垂直，所以末速度在支持力方向上的速度分量是0，初速度为 0，在支持力方向上的速度分量当然是0 。所以物体在支持力方向上的动量变化量是 0，即冲量是0。
原题对合外力方向上冲量的计算是对的，也可以用质量与速度的乘积来进行计算，具体如下：

根据上面的计算可知末速度Vt=at
= 5 m/s^2 × 2 s = 10 m/s
初速度是0
冲量I=m（Vt－Vo）=2kg ×（10m/s－0）
=20 Ns

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