给数学研究增添了很多乐趣 数学带来的乐趣


给数学研究增添了很多乐趣 数学带来的乐趣

文章插图
有些数字比其他数字更容易出现在公式中 。有些人甚至会说,有些数字比其他数字更重要 。但是为什么呢?在这篇文章中,我将展示一些美丽的公式,它们都包含π,并试图理解为什么π在数学中随处可见 。
介绍
如果π只渗透到几何和三角学领域,而不是数学的其他子领域,就不足为奇了 。然而,π存在于数学的许多领域,在某些情况下,我们很难理解为什么π会出现 。
π存在于数论微积分代数概率论统计学等学科中,如果你有研究,会发现它非常神奇和有趣 。
π以某种形式出现,应该意味着某个地方隐藏着一个,而在某些情况下,似乎并没有 。
回忆一下,π就是任何圆的周长除以直径得到的精确数字 。
下面的公式都会出现π 。我将试图解释为什么会出现(π)?
莱布尼茨公式
让我们从结果开始:
这个交替级数收敛于π/4 。π为什么会出现在这个级数中?它来自于一个三角函数 。已知几何级数:
当|x| < 1时成立 。我们在两边用-x^2替换x,得到:
两边从0到1积分会得到:
其中arctan是反正切函数 。
布冯针问题
【给数学研究增添了很多乐趣 数学带来的乐趣】在18世纪,乔治-路易·勒克莱尔,布冯伯爵提出了以下问题:
假设有一张纸,在上面画等距的平行线,然后在纸上放一根针,针的长度与两线之间的距离相等 。针与其中一条线相交的概率是多少?
这个问题的答案是2/π,但是“”藏在哪里呢?
假设针的中心落在两条线之间,我们可以不失一般性地假设针以及两条线之间的距离是2个单位长 。
设针的中心为x,我们把这两条直线放在一个坐标系中,使得最接近x的垂直线在0处穿过x轴(因此,它就扮演了第二个轴的角色) 。我们可以用下图来说明:
红蓝线说明了这个实验的两种不同结果 。这个圆说明了当针的中心为x时所有可能的结果 。请注意,针永远不能相交于两条线,所以我们可以假设x在两条直线的中心线的左边 。两条直线的中心在x=1处 。
从上图可以看出cos(θ) = x,因为我们需要让x变化,所以需要反余弦函数,也就是arccos 。公式变成了θ = arccos(x) 。
我们需要把所有的面积比加起来,有无穷个(面积比),因为x的每一个值都会给出一个这样的比值 。但我们有微积分工具,可以对x从0到1积分得到所有比值的和 。
现在我们可以用分部积分法对arccos(x)求导,来证明arccos(x)的不定积分是x arccos(x) - sqrt(1- x2) + C
最后得到 p = 2/π 。这个公式中的圆来自于针的旋转对称 。
欧拉恒等式
数学中最美丽的方程式当属欧拉恒等式,1748年,莱昂哈德·欧拉提出了这个方程:
正如威廉·德纳姆所说:
如果你想做加法,你需要0;如果你想做乘法,你需要1;;如果你想学微积分,你需要e;如果你想做几何,你需要π;如果你想做复分析,你需要i 。这些数字都出现在了欧拉恒等式中 。
它表达了两个对称之间的有趣关系 。当我们用一个复数z乘以e^(πi),得到的数字是z沿着半径为|z|的圆旋转π弧度得到的数字 。
欧拉恒等式表达了这样一个事实:通过原点反射一个复数(即乘以-1)相当于将该数旋转180度 。
这个结果中的圆,源于与上面的复指数相乘时的半圆旋转 。
巴赛尔问题
让欧拉名声大噪的一个发现是下面这个令人惊讶的结果:
左边的无穷级数是所有整数平方倒数的“和” 。首先,欧拉回顾了正弦函数的麦克劳林级数展开式 。正弦函数可以写成幂级数 。
然后除以x得到:
欧拉认为上面的左边可以看成是一个无限多项式,我们都知道多项式可以被分解成线性因子的乘积形式
其中c是一个数字,上面分母中的r是多项式的根(也称为零点) 。任何多项式都可以写成这样的事实叫做代数基本定理,这是一个非常重要的定理 。
欧拉认为这个定理也适用于一些“无限”多项式,如上面的幂级数 。由于上述幂级数的常数项为1,显然c = 1 。我们现在有
欧拉问自己这个函数的零点是什么 。它们是正弦函数的零点,因此是π的整数倍 。所以:
第二个等式来自于将相邻项相乘 。现在需要另一个绝妙的想法 。欧拉意识到隐藏在上面的二次项分母中的平方数,并想把它们从乘积中“解放出来” 。这听起来很可怕,但是我们只需要得到幂级数的前两项 。
显然,常数项是1 。第二项呢?对于相应的无穷幂级数中的每个系数,我们只需要选择一个非常数项然后从乘积中的其他项中选择所有的1 。然后,我们得到
欧拉把它和泰勒级数表达式做了比较 。也就是说:
欧拉得出,右边的两个级数必须相等,也就是:
或:
再一次,我们可以解释π是如何从正弦函数的零点来的,然而,如果真的想从几何上理解这个问题,这并不是很令人满意 。
高斯积分
在统计学、数论和许多其他数学领域中,一个非常重要的积分结果是:
这真的很神奇 。下面这个钟形曲线下的面积是π的平方根
有很多不同的方法来证明这一点 。我最喜欢也是最优雅的方法是把笛卡尔坐标系换成极坐标 。具体来说,令
现在我们计算I^2,并将其转换为极坐标:
在上面的计算中,我们对最后一个积分做了替换:r^2= u => r dr = du/2 。现在,因为我们知道I一定是一个正数,得到
那么这个在哪呢?当我们计算I^2时,我们实际上计算了一个(三维)体积,也就是在一个具有旋转对称的二维表面下的体积 。
得到的二重积分把无限多的圆面积“加起来” 。把所有这些面积相加,得到的表达式不仅包含π,而且实际上等于π 。
结论
看来,当π出现在一个公式中,我们可以通过某种隐藏在公式中的旋转关系来解释它 。即使我们不能一眼看到它,但它肯定就在那里 。
关于π的讨论还可以有很多,例如为什么用几何方法解释这类问题这么难,而用代数和微积分就(相对)容易了呢?


    以上关于本文的内容,仅作参考!温馨提示:如遇健康、疾病相关的问题,请您及时就医或请专业人士给予相关指导!

    「四川龙网」www.sichuanlong.com小编还为您精选了以下内容,希望对您有所帮助: