详解洛必达法则洛必达法则的使用条件( 二 )

通分之后，可以得到：

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到这里，不难看出来，当x趋向于a的时候，上面的差值趋向于0，所以：

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由于x趋向于a的时候，ξ也趋向于a，那么我们就得到了：

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尝试
我们学会了洛必达法则之后就可以活学活用来解决一些比较棘手的极限问题了。比如刚才我们举的例子就再也不是问题了。

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再来看一个：

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到这里我们还是无法得到结果，看样子是卡壳了。但是别着急，洛必达法则是可以嵌套使用的。原因很简单，只要我们把 f'(x) 看成是新的 f(x)，F'(x) 看成是新的 F(x)，只要新的函数还满足洛必达法则的使用条件，那么我们可以继续使用洛必达法则。也就是说，我们可以得到：

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当然使用嵌套也存在前提，前提就是二阶导数存在，并且 F''(x) 不等于0 。同样的道理，只要高阶导数存在，并且分母不为0，我们可以一直嵌套下去。所以洛必达法则也可以称为套娃法则。有了套娃之后，问题就简单了，上面的问题我们只要往下套就行了：

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变形
除了套娃之外，洛必达法则还存在一个著名的变形。前面讨论的使用范畴都是在x趋向于一个常数的情况下的，其实在一些特殊的情况下，当x趋向于正无穷时，我们一样可以套用洛必达法则。和基础版本一样，同样需要函数f(x)和F(x)满足一些条件：

x趋向于正无穷时，f(x)和F(x)同时趋向于0或者无穷
存在N使得当|x| > N时，f'(x)和F'(x)都存在，并且F'(x)不等于0
存在lim f'(x)/F'(x)

我们来看个例子：

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我们可以看出来，当x趋向于无穷的时候，分子分母都趋向于无穷。所以我们可以使用洛必达法则：

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总结
洛必达法则在高数当中非常重要，尤其是在计算极限的时候，很多看起来很麻烦的极限在经过洛必达法则的转换之后说不定就简单得多。
但是关于洛必达法则使用的限制看起来有些麻烦，其实我们只需要牢记两点即可。第一点是不管x趋向于什么值，只要保证分子分母同时趋向于0或者是无穷，并且导数存在，且分母的导数不为0即可。也就是说如果分子分母的极限不同时为0或者无穷大，则不能使用洛必达法则。这一点一定要牢记，因为在我们多次使用洛必达法则的过程当中，很有可能出现分子分母不在满足这个条件的情况，我们在使用的时候一定要铭记。
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