为激活函数，
和
为常量，
为转换输入信号的常量矩阵 。
从现在开始，我们将 SRNN 称为由（1）-（3）定义的系统 。SRNN 的隐藏状态描述了一个处理输入信号的非自主随机动力系统 。常数 Γ、W、b、C、σ 和 f 中的参数（如果有的话）定义了 SRNN（架构）的（可学习）参数或权重 。对于 T > 0，与 SRNN 相关联的是输出函数
，其定义为可观测的 f 的期望值（集合平均值）：
SRNN 的非平衡响应理论
预备知识和符号
在本小节中，我们简要回顾马尔可夫过程的预备知识并介绍我们的一些符号 。
令 t ∈ [0, T]，
且
是归一化的输入信号 。在 SRNN（1）-（3）中，我们认为信号
是驱动 SDE 的小振幅 γ（t）的扰动：
未扰动的 SDE 是 Cu 设置为零的系统：
其中，
且
。过程 h 是时间齐次马尔可夫过程
的扰动，它不一定是稳定的 。
扩散过程 h 和
分别与一族无穷小生成元
和
相关，它们是二阶椭圆算子，定义为：
对于任何可观察的
，其中
。我们将与 h 关联的转移算子
定义为：
对于
，和转移算子
（其为一个马尔科夫半群），它们都是与
相关联的 。
此外，可以在概率测度空间上定义上述生成元和转移算子的 L2 伴随矩阵 。我们分别用
和
表示与 h 和
关联的伴随生成器，分别用
和
表示与 h 和
关联的伴随转移算子 。我们假设初始测度和过程定律具有关于勒贝格测度的密度 。将初始密度表示为
，
满足与
关联的前向柯尔莫果洛夫方程（FKE） 。
我们采取自然的假设，即扰动和未扰动过程都有相同的初始分布
，这通常不是无扰动动力学的不变分布
。
关键思想和形式推导
首先，我们将推导出 SRNN 的输出函数在驱动输入信号方面的表示 。我们的方法源于非平衡统计动力学的响应理论 。在下文中，我们假设任何无限级数都是明确定义的，且求和和积分之间的任何互换都是合理的 。
固定一个 T>0，令
足够小并且
首先，请注意概率密度
的 FKE 是：
其中
，而：
关键思想是，由于 ε> 0 很小，我们寻求形式为 ρ 的微扰展开：
将其代入 FKE 并匹配 ε 中的阶数，我们得到以下方程层次：
ρn 的形式解可以通过迭代获得 。形式化的描述，我们记
。在不变分布是稳定的特殊情况下，
与时间无关 。
请注意，n ≥ 2 时，
，在 n ≥ 2 时，解 ρn 通过递归关系而得：
因此，假设下面的无穷级数绝对收敛，我们有：
接下来，我们考虑 SRNN 的隐性动力学的标量值观测值
，并研究输入信号扰动引起的该观测值的平均偏差：
对于扰动动力学的可观察值的平均值可写为：
在不丧失一般性的情况下，我们在下文中取
，即 f(h)被认为是均值为零的（相对于 ρinit） 。
我们有：
其中
是一阶响应核，它们是相对于 ρinit 的仅无扰动动力学函数的平均值 。请注意，为了获得上面的最后一行，我们分部积分并假设 ρinit>0 。
该式表达了阿加瓦尔型的非平衡波动-耗散关系 。在平稳不变分布的情况下，我们使用（向量值）响应核，恢复统计力学中众所周知的平衡波动-耗散关系：
其中
。在线性 SRNN（即 φ(h, t)在 h 中是线性的）和 f(h) = h 的特殊情况下，其可简化为
的协方差函数（相对于 ρ∞） 。
到目前为止，我们已经研究了线性响应机制，其中，响应线性地依赖于输入 。现在我们通过将上述推导扩展到 n≥2 的情况 。我们表示

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