，可得
其中
，
是 n 阶响应核：
且
n = 2, 3, . . .时，
请注意，这些高阶响应核与一阶响应核类似，是相对于 ρinit 的一些仅无扰动动力学的函数的平均值 。
基于上述结果可得：
其中
是递归定义的时间相关核 。更重要的是，这些核完全由 SRNN 的未扰动动力学以明确的方式确定 。因此，SRNN 的输出函数可以写成（实际上是唯一的）上述一系列形式 。该陈述在后文中得到了精确表述，从而解决了 (Q1) 。
现在我们关注(Q2) 。通过展开技术，我们可以得到：
其中，
是与时间和信号
无关的常数 。该表达式以系统的方式将驱动输入信号从 SRNN 架构中分离出来 。粗略地说，它告诉我们，SRNN 对输入信号的响应可以通过将两部分的乘积相加得到，其中一个描述了 SRNN 的未扰动部分，一个是经过时间变换的输入信号的迭加积分 。这一声明在后续得到了更精确的阐述，它是解决(Q2)的起点 。
主要结果
假设
为了简单和直观，我们对 SRNN 使用以下相当严格的假设 。这些假设可以通过增加技术成本（我们不在这里追求）或通过计算近似结果来证明是合理的 。
回想一下，我们正在处理确定性输入信号
。
假设 4.1 固定 T>0 并让 U 成为
的开集 。
(a)
对所有 t∈[0, T]来说都是足够小的 。
(b) 在所有
时，
，并且以概率 1 存在一个紧集 K?U，使得在所有
情况下，
。
(c) 系数 a：
和 f：
为分析函数 。
(d)
是正定的，
是正稳定的（即，Γ 的所有特征值的实部都是正的） 。
(e) 初始状态
是一个根据概率密度 ρinit 分布的随机变量 。
假设 4.1(a)意味着我们使用幅度足够小的输入信号 。这对于确保某些无穷级数以足够大的收敛半径绝对收敛非常重要 。(b) 和 (c) 确保一些理想的规律性和有界性 。特别地，它们意味着 a、f 和它们所有的偏导数都是有界的，且在整个 t∈[0, T]上，ht 和
利普希茨连续 。(d) 意味着系统受到的是非退化噪声的抑制和驱动，这确保了无扰动系统可以指数稳定 。(e)是我们分析的自然假设，因为 h 是
的一个扰动 。
除非另有说明，否则假设 4.1 是本文中隐含的假设 。
进一步符号化 。我们现在提供一个空间及其符号的列表：
* L(E1, E2)：从 E1 到 E2 的有界线性算子的巴拿赫空间（其中||·||表示适当空间上的范数）
*
：具有紧支撑的类
的实值函数空间
*
：类
有界实值函数空间
*
上有界绝对连续度量的空间，其中
，ρ 表示度量 μ 的密度
*
：ρ 加权的 Lp 空间，即函数 f 的空间，使得
，其中 ρ 是加权函数 。
SRNN 输出泛函的表示方法
在保证不丧失一般性的情况下，我们将在下文取 p=1 并假设
。
定义 4.1 （响应函数） 令
是一个有界的可观察对象 。对于 t∈[0,T]，令 Ft 是 C([0, t],R)上的泛函，定义为
，
表示 Ft 相对于 γ 的 n 阶泛函导数 。对于 n∈Z+，如果存在局部可积函数
，对于所有测试函数
，使得
则
被称为可观测 f 的 n 阶响应函数 。
接下来，在 t∈[0,T]中，令
是任意可观察函数，且
。
命题 4.1 （响应函数的显式表达式） 对于 n∈Z+，令
为 f 的 n 阶响应函数 。那么，对于
：
(a)
(b) （高阶 A-FDT）此外，如果 ρinit 为正，则
其中
推论 4.1 令 n∈Z+，且
。假定在
上有另一个函数

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