点集

什么是点集拓扑学?建议网上搜索一下 。对数学系学生说来,以前数学的三大基础课是高等代数,解析几何,数学分析,俗称老三高 。现在则是新三高,近世代数,拓扑学,泛函分析 。你问的就是这基础部分 。rr点集拓扑学,有时也被称为一般拓扑学,是数学的拓扑学的一个分支 。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质 。这一分支起源于以下几个领域:对实数轴上点集的细致研究,流形的概念,度量空间的概念,以及早期的泛函分析 。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了 。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式,点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识 。一、点集拓扑的起源点集拓扑学产生于19世纪 。G.康托尔建立了集合论,定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念,获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果 。1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来,建立了广义分析,可看为拓扑空间理论建立的开始 。二、点集拓扑的主要理论内容泛函分析的兴起,希尔伯特空间和巴拿赫空间的建立,更促进了把点集当作空间来研究 。数学分析研究的中心问题是极限,而收敛与连续又是极限的基本问题 。为把收敛与连续的研究推广到一般集合上,需要在一般集合上描述与点或与集合“邻近”的概念 。如何描述“邻近”,可以用“距离”,但“距离”与“邻近”并无必然的联系 。1914年F.豪斯道夫开始考虑用“开集”来定义拓扑 。对一个非空的集合X,规定X的每点有一个包含此点的子集作成的子集族,满足一组开集公理(即仿照欧几里得空间邻域所具特性给出的一组性质) 。该子集族中的每个集合称为这点的一个邻域 。这就给出了X的一个拓扑结构 。X连同此拓扑结构称为一个拓扑空间 。X的每点有邻域,故可研究一点的邻近,由此可仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念 。若一个映射连续,且存在逆映射,逆映射也连续,则称此映射为同胚映射 。具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的(直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个) 。三、研究意义要证明两个空间同胚,只要找到它们之间的同胚映射即可 。在欧几里得直线上,作为子空间,两个任意的闭区间同胚;任意两开区间同胚;半开半闭的区间[c,d]与[a,b]同胚 。二维球面挖去一个点s2-p与欧几里得平面K2同胚 。要证明两个拓扑空间不同胚,需证明它们之间不存在同胚映射 。方法是找同胚不变量或拓扑不变性(即在同胚映射下保持不变的性质);第一个空间具有某同胚不变量,另一个空间不具有,则此二空间不同胚 。一般拓扑学中常见的拓扑不变性有连通性、道路连通性、紧性、列紧性、分离性等(见拓扑空间) 。在历史上F.豪斯多夫提出了分离空间;弗雷歇看出了紧性与列紧性有密切关系;L.S.乌雷松对紧空间进行了系统研究,且在拓扑空间可否变量化的问题上作出了贡献;1937年H.嘉当引进了“滤子”的概念,能进一步刻画一致收敛,使收敛的更本质的属性揭示了出来;维数的问题是E.嘉当在研究皮亚诺曲线(一种可填满整个正方形的“曲线”)时提出的,1912年H.庞加莱给出定义,由乌雷松等人加以改进 。四、学好拓扑需要注意的1、熟练掌握最基本的定义、定理 。因为证明某个命题,往往是从定义出发去证明的,而且点集拓扑学中出现的定义特别多,又有联系,因而熟记定义是学好拓扑学的关键;2、熟悉拓扑学中常用符号,并能正确书写 。点集拓扑学中符号多而且复杂,掌握常用数学符号的意义是必须的;3、证明某个命题,要证到什么程度才算证完,要心中有数,每一步推理都要有根有据,根据只能是前面的定义、定理,有时也可参考一下集合的文氏图;4、证明时用到的根据切不可将数学分析中的结论想当然地引入,因为数学分析中的实数空间是非常完美的度量(拓扑)空间,既是A1 ,A2的,又是T4的, 而要证的命题不一定具备这样的条件 。


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