球体表面积公式 _表面积-「四川龙网」

圆的周长、面积，球的表面积和体积公式，如何用微积分精确推出来？分析一下？（应邀，小石头尝试着来回答这个问题）圆的周长公式我们知道在二维几何平面上，对于以原点为圆心，R为半径的圆 C，在笛卡尔直角坐标下，曲线方程为：x2 + y2 = R2在极坐标下，曲线方程为：ρ = R，θ ∈ (-π, π]两者结合，就得到一个笛卡尔直角坐标下参数方程（θ ∈ (-π, π]）：x = R cosθy = R sinθ利用，关于弧长的曲线积分公式：令，f(x, y) = 1，就是计算曲线 L 的弧长的公式。这里，我们将C 看成从 a = (-R, 0) 点出发按照逆时针方向旋转一周又回到 a 点的曲线，于是，计算 C 的弧长为：这个弧长就是 C 的周长，这样，我们就得到了，所熟悉的圆的周长公式：C = 2πR考虑，C 位于 X 之上的部分C'，令，t = x，则 C' 的参数方程为（t ∈ [-R, R]）：x = ty = √(R2-t2)同样，利用上面的弧长公式，计算 C' 的弧长为：而 C 的周长显然是 C' 弧长的 2 倍，于是，我们就又得到了圆的周长公式：C = 2C' = 2πR圆的面积公式设，圆 C 的内部圆盘为：S= {(x, y) | x2 + y2 ≤ R2 }在平面极坐标下，圆盘 S 可以被分割为无数的 "小扇形 "，每个小扇形的面积近似等于以弧长 Δl = R Δθ 为底以半径 R 为高的三角形面积：ΔS = (1/2)R(RΔθ) = (R2/2) Δθ这些 ΔS 全部加起来，然后让每个 ΔS尽量小，即，Δθ 取 0 的极限，这样，就得到一个黎曼积分，这个结果就是全部小扇形的面积之和，即，S 的面积，于是我们得到，圆的面积公式：S = πR2上面的结果，告诉我们，其实，在关于弧长的曲线积分公式中，令 F(x, y) = (R2/2)，对圆周 C 进行弧长积分，就可以得到圆的面积 S 。反正都是常数，不妨让 f(θ) =(R2/2)，则 S 面积为如下黎曼积分：同样在平面极坐标下，我们还可以将 S 分成无数的小圆环，将周长公式中半径设为变量 ρ 于是得到周长函数：f(ρ) = 2πρ这样，每个小圆环的面积近似的等于，以周长为高以内径为底的矩形面积（想象将小圆环从极轴处水平剪开，然后上下拉直，由于圆环很薄因此内外周长几乎相等，构成矩形的左右两个边，而内径本来就相同，构成矩形的上下两个边）：ΔS? = f(ξ?)Δρ?其中，Δρ? = ρ? -ρ???，ξ? ∈ [ρ???, ρ?]，又令 λ = max{Δρ?, i = 1, ..., n} 于是我们又得到一个标准的黎曼积分：这个结果就是全部小圆环的面积之和，即，S 的面积，于是我们又得到圆的面积公式：S = πR2上面的结果说明一个事实：以半径 ρ 为变量的，面积函数 F(ρ) = πρ2 是周长函数f(ρ) = 2πρ 的原函数，并且有条件 F(0) = 0，使得不定积分常数 C = 0，即，绘制成图如下：反过来，这同样说明：圆的周长函数 f(ρ) = 2πρ 是面积函数 F(ρ) = πρ2 的导数，所以，我们其实可以从圆的面积公式通过求导得到圆的周长公式，即，从 S 的面积公式通过求导得到 C 的周长公式，这要求求得 S 面积时不使用 C 的周长公式，可以考虑，平面直角坐标系下，C 在第Ⅰ象限的部分，C 的这部分的函数为：y = f(x) = √(R2 - x2)于是直接利用黎曼积分，可以求出 S 在第Ⅰ象限部分 S' 的面积如下：注意：为了节约篇幅，从这里开始，复杂的不定积分推导过程均省略，有兴趣大家可以自行推导。而根据对称性，S 的面积是 S' 的 4 倍，于是我们就双得到了圆面积公式：S = 4S' = 4(πR2/4) = πR2还可以利用，格林公式：这里，D 就是 S，L 就是 C，只要设，Q(x, y) = x, P(x, y) = 1于是，格林公式左边为：这就是 S 的面积。接着利用，两类曲线积分的关系：结合上面 C 的第一个参数方程，格林公式右边为：格林公式左右联立，于是我们叒得到圆的面积公式：S = ?_D(?Q/?x - ?P/?y) dxdy = ∮_C (Pdx + Qdy) =πR2其实，也可以直接求上面的二重黎曼积分，另外，在平面极坐标下，考虑二重黎曼积分更一般的形式：可以将 S 的内部分为许多 ”小扇面“，每一个小扇面的面积，近似等于红色梯形面积（大三角形减去小三角形）：Δσ? = 1/2 ρ?2 Δθ? -1/2 (ρ? - Δρ?)2Δθ? = [(ρ? + ρ???) / 2]Δρ? Δθ? =ρ'? Δρ? Δθ?其中，Δθ? = θ? - θ???, Δρ? = ρ? - ρ???，令，λ = max{Δσ?, i= 1, 2, ..., n = m2}，并取小扇面的中心点 (ρ'?, θ'?) 处的二元函数值 f(ρ'?cosθ', ρ'?sinθ')，于是就得到了极坐标下的二重积分计算公式：注意：以上的推导过程，可以从圆盘 S 扩展到任意有界封闭区域 D 。利用，上面的二重积分计算公式，有：这样，我们就叕得到了圆的面积公式。球的表面积公式在三维空间中，以圆点为球心，以 R 为半径的球面 B，在笛卡尔直角坐标下，曲面方程为：x2 + y2 + z2 = R2于是，球面 B 在 XOY 平面的上半部分的曲面 B' 对应的二元函数为：z = f(x, y) = √(R2 - x2 - y2)对于 XOY平面上的任意中心为 (x, y) 的一小块 Δσ 沿着Z轴（垂直于 XOY平面），投影到 B' 上的面积，近似于投影到 B' 在 (x, y, f(x, y)) 处切面上的面积 Δm , 设 r 是该切面与 XOY平面的夹角，则有：Δm= Δσ / cos r为什么呢？因为：Δσ可以分成无数个小矩形：Δσ = ∑ a? × b?让 a? 边与切面与 XOY平面交线平行，于是 b? 边就与交线垂直，这样 a? 边在切面上的投影仍然是 a?，b? 边在切面上的投影则是b? / cos r，于是每个小矩形在切面上的投影面积为(a? × b?) /cos r，进而有：Δm=∑ (a? × b?) / cos r =Δσ / cos r另外，根据立体几何知识，我们知道：B' 在 (x, y, f(x, y))处的切面与 XOY 平面的夹角等于 B' 在 (x, y, f(x, y))点切面法线和 Z 轴的夹角，又因为，B' 在 (x, y, f(x, y))点的切面法线向量为：n = (-?f/?x,-?f/?y, 1)Z 轴单位向量为：k = (0, 0, 1)所以，根据内积的定义，有：cos r = n ? k / |n||k| = 1/√((?f/?x)2 +(?f/?y)2 + 1)注意：上面的结论（以及证明过程）适用于，任何可表示为函数 z = f(x, y) 形式的正则曲面，而非仅仅是 B' 。对于曲面 B' 来说，有：?f/?x = -x/√(R - x2 - y2) , ?f/?y = -y/√(R - x2 - y2)带入上面得到：cos r = 1/(√ x2 / (R2- x2 - y2) + y2 /(R2- x2 - y2) + 1) = √(R2- x2 - y2) / R于是，曲面B' 面积的二重黎曼积分为：再利用，前面推导出来的极坐标下二重积分的计算公式，有：最后，根据对称性 B 的表面积是 B' 的两倍，于是我们得到球的表面积公式：B = 2B' = 4πR2考虑，沿着 X 轴，并垂直于 X 轴将球体切成无数薄片，和上面类似，对于每一个薄片，外圈表面积 ΔB? 同样是顶面半径为 √(R2- x2) 的圆柱体圆面面积 2π√(R2- x2) Δx?的 1/cos r 倍数，这里的 r 是，曲线 y = f(x) = √(R2- x2)上(x, f(x)) 点处切线和 X 轴的夹角，也等于曲线在该点处切线法线 n = (-f', 1)和 Y轴单位向量 j = (0, 1) 的夹角。同样，根据内积公式有：cos r =n ? k / |n||k| = 1/√(f'2+ 1)= 1 / √((-x/√(R2- x2)) 2 + 1) =1 / √(x2/(R2- x2) + 1) = √(R2- x2) / R于是，ΔB? =2π√(R2- x2) Δx? /cos r = 2πR Δx?进而，令 λ = max{Δx?, i = 1, ..., n}使用黎曼积分，就得到 B 的表面积：球的体积公式设，球面 B 内部球体为：V = {(x, y, z) |x2 + y2 + z2 ≤ R2 }与上面类似，沿着 X 轴，并垂直于 X 轴将球体 V 切成无数薄片，则每个厚度为 Δx? = x? - x??? 的薄片的体积近似等于半径为 √(R2- ξ?2) （ξ? ∈ [x???, x?]）的同样厚度的圆柱体的体积：ΔV? =π(√(R2- ξ?2))2 Δx? = π(R2- ξ?2) Δx?接着，令λ = max{Δx?, i = 1, ..., n}，使用黎曼积分，就得到 V 的体积：当然我们也可使用三重积分计算球的体积。利用，柱面坐标计算三重积分和上面的方法类似，这里略。利用，球面坐标下的三重积分计算公式：对于，P 点的球面坐标定义为：ρ ∈ [0, R]为 |OP|，φ ∈[0, π]为 OP 于 Z 轴夹角，θ ∈[-π, π] 为 OP 在 XOY 平面上的投影与 X 轴的夹角，则，有，这个公式的推导，和上面极坐标下二重重积分计算公式的推导非常类似，有兴趣大家可以自己试一试。对于球体 V 的体积，来说：f(x, y, z) = F(ρ, φ, θ) = 1,ρ(φ, θ) = R于是，有：最后，大家需要知道，为了不分散注意力，以上所有积分均忽略了函数是否在区域边界处有意义问题！如果，函数在边界无定义，则可以通过有定义的闭区域极限逼近的方法求得，一般来说，最后结果和不考虑其实一样。例如，f(x) 在 [a, b) 有定义，在b 点无定义，则 f(x) 在 [a, b] 上的积分可以定义为：（当然，用微积分推导圆或球的相关几何公式，不止以上介绍的这些！小石头这里只是抛砖引玉，欢迎大家讨论！）（由于小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位老师和同学批评指正。）rr圆的周长从圆心做三角形顶点到圆上可以分割n个三角直角三角形，一个直角边是半径，另外是圆周长上的微分.1/2r△x,所有的△x加起来正好是圆周长，所以圆面积等于∏r2

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