线性回归背后的数学线性回归数学题( 三 )

Z是否与轴的单位无关？Z并不表示一个点离中心有多远，而是表示它离中心有多少个标准差。
如果把点的坐标乘以一千，标准差也会大一千倍。比如说：
因为标准差与坐标轴具有相同的 "单位"，一个点离中心的标准差的数始终保持不变。因此，Z与坐标轴的单位无关。
因此，使用z-score使公式与使用的单位无关。新公式现在看起来像这样：
使用这个公式，图6.a的相关系数等于10.413，图6.b的相关系数为13.93 。
这个公式仍有一个问题。该公式的输出取决于数据点的数量。例如，假设在图6.a中增加了一个x坐标为13、y坐标为8的点，这个点会削弱相关性，因为它根本不在一条可能的直线附近。但是，用目前的公式，我们的相关系数甚至会略有增加。
为了解决这个问题，我们可以从求和中取所有项的平均值。由于我们已经在计算所有的项，只需要再除以点的数量，即n 。确切地说，是n-1，这方面的原因超出了本文的讨论范围，只需知道在这种情况下，用n-1除所有项的平均值即可。最终公式便是皮尔逊公式了：
现在，对于图6.a，r = 0.69；对于图6.b，r = 0.93 。
最小二乘法在本文的开头，我向大家介绍了吉诺。吉诺想从散点图中计算出最适合给定数据点的直线的函数。正如我前面提到的，这个函数的计算被称为线性回归 。
这种回归背后的方法被称为最小二乘法。
看一下下面的图：

图7：线性回归

在这个图上，我们称每个点的y坐标为y_i，直线上与y_i对应的纵坐标为?_i 。y_i称为y的观测值，?_i称为y的预测值。
当画线时，我们希望从每一个点到线的y距离越小越好。这个距离等于观察值和预测值之间的差。
这个方程的问题是，当?_i大于y_i时，d是负的。而我们只想对正值进行处理。为了解决这个问题，我们可以简单地将差值平方。
这就是 "最小二乘法 "这个名字的由来。

图8：最小二乘法。

回归线现在是所有d_i之和最小的那条直线。
这条线的函数如下：
这可以通过数学方法或计算机模拟来证明。
吉诺回归（Gino’s regression）现在我们知道如何计算线性回归了。让我们试着计算一下1888年比萨斜塔的预期倾斜度。下面是吉诺获取的数据：

对于相关系数，计算得出r = 0.995，这是一个非常高的系数。线性回归肯定是有效的。对于函数，我们计算如下：
为了确保没有犯任何错误，可以在我们的散点图上画出这条线。
看起来很不错吧？
现在可以用这条线来预测未来的倾斜度。
对于1988年，我们预测的倾斜度为767.8 。
最后这篇文章的目的不是让你记住很多公式，也不是让你能够徒手计算出线性回归的结果。我主要是想展示某个公式背后的思考过程。线性回归几乎总是用计算器或电脑来完成。

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