黄金比例的真正神奇之处黄金分割比例

我们听过的很多动人心魄的神话可能是始于一个真实的故事，它曾在历史的某个时间点上真实地发生过，但在代代相传的传颂中，被一点一点的蒙上传奇的色彩，让真相被一点一点地被抛在脑后。神话之所以总能在人们心中存留和演化，或许是因为它们多少承载着一些隐藏的真理，能够满足人类在心灵上的某些需求。
以严谨的逻辑著称的数学似乎是神话的一个对立面，但有时，一些数学真理会在缺乏理解的复述之下，以“神话”般的形式进入到公众意识。今天我们要说就是数学中的一则“神话”——黄金比例（黄金分割率）。
什么是黄金比例？
黄金比例是一个神奇的常数，我们通常用希腊字母φ来表示它。它出现在很多文学和艺术作品中，比如在小说和电影《达芬奇密码》就提到了这个有着神秘色彩的数字。之所以说它神秘，是因为与数学中的许多其他概念相比，这个数字的确有着更多的“神话”：它被许多作家描述为是自然界所有美丽图案的基础，是神圣的比例；也被称为是许多艺术作品和建筑物的设计基础，如希腊的帕特农神庙和埃及的金字塔。
黄金比例最早出现在欧几里得的著作《几何原本》中，欧几里得将它定义为：

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那么，φ究竟等于多少呢？我们知道，a / b = φ，且 (a + b) / a = φ，因此上图中的等式可以变成：

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对这个方程进行求解，就能得到：
【黄金比例的真正神奇之处黄金分割比例】

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由于φ必须大于1，所以我们取φ = 1.61803…它是一个无理数，这并不难理解，因为根号5正是一个无理数，也就是说它是一个无法被写成两个整数之比的数。这是黄金比例的一个非常重要的性质。
一维的黄金比例还可以延伸为所谓的黄金矩形，我们可以根据以下步骤画出一个黄金矩形：
1、首先需要画一个边长为a的正方形；2、然后取正方形的一条边（比如底边）的中点：以该中点为圆心，以中点到与对边相连的一个顶点的距离为半径画圆；3、延长底边，让它与圆弧相交，得到的交点便是黄金矩形的一个角。

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除了黄金矩形之外，黄金比例φ还有另一个可爱的几何表达，那就是它是一个边长为1的正五边形的对角线的长度。（读者可以试着用余弦定理来检验哟！）

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如上图所示，由对角线和底边形成的边长为1、φ、φ的等腰三角形BAD，被称为黄金三角形，它在五重对称的研究中频繁出现，例如就是由五个黄金三角形构成的：

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其实，定义黄金比例的方法有很多，一个非常著名的例子是斐波那契数列：

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这个序列中的下一项是前两项之和，是由斐波那契提出的一种用来理解兔子种群增长的方法，它在理解人口增长方面具有重要作用。
这个数列是如何与黄金比例联系在一起的呢？最早发现这一惊人秘密的是开普勒（Johannes Kepler），他注意到，如果取这个序列中的两两相连的数字之比（后一项比前一项），得到的比值就可以形成数列：

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