考研数学函数项级数一致收敛的判定方法函数项级数一致收敛的判别方法

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函数列与函数项级数（二）
在上一期我们聊了一下函数列以及它的收敛性，在这一期我们将讨论如何判定函数列的一致收敛。为了大家能够更好地理解下面的内容，我们先回忆一下函数列一致收敛的定义。
一致收敛的定义：我们首先给出一致收敛的定义：设函数列与函数定义在同一数集D上，若对任给的正数，总存在某一正整数N ，使得当n＞N时，对一切x∈D ，都有
＜ε
则称函数列
在D上一致收敛于f ，记作
判断一致收敛的方法有两个：
1.柯西一致收敛判别准则
函数列在数集D上一致收敛的充要条件为：对任给正数ε ，总存在正数N ，使得当n、m＞N时，对一切x∈D ，都有
＜ε
当一个函数列一致收敛于函数时，根据一致收敛的定义我们可以知道若对任给的正数，总存在某一正整数N ，使得当n＞N时，对一切x∈D ，都有
＜ε
必然也会存在一个正数m ，且m﹥N但是n≠m ，使得＜ε
所以， =
≤+
＜ε+ε=2ε
从而＜2ε
为了方便结果的好看我们可以令＜，＜
这样就有了＜ε
当一个函数列满足条件“对任给正数ε ，总存在正数N ，使得当n、m＞N时，对一切x∈D ，都有＜ε”时，我们可以联想到数列收敛的柯西准则，
我们任取∈D ，则数列有
当n、m＞N时，有＜ε
所以数列收敛
令,则＜ε
由于是我们在D中任意取的一个数，所以对任意一个x∈D都满足
＜ε再根据函数列一致收敛的定义可知函数列在数集D上一致收敛。
2.函数列在数集D上一致收敛于函数的充要条件为：
＜ε,x∈D
这个定理是最常用的，前提是我们必须知道函数列的具体表达式。
当函数列在数集D上一致收敛于函数时，根据函数列一致收敛的定义我们有
对任给的正数，总存在某一正整数N ，使得当n＞N时，对一切x∈D ，都有
＜ε
所以，再根据上确界的定义我们可以得到＜ε
从而有＜ε
当函数列满足条件“＜ε,x∈D ”时，我们可以知道
对任意ε＞0 ，存在N ，当n＞N时，有＜ε ， x∈D
所以，当n趋近于无穷大时，我们有
≤ ＜ε ， x∈D
所以，＜ε
根据函数列一致收敛的定义可知，函数列一致收敛于函数。
在下一期我们将要讨论函数项级
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