圆的面积公式对半径求导:

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居然得到了圆的周长公式!
圆的周长公式对半径积分：


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居然得到了圆的面积公式!
这里其实包含有定积分“微元法”的原理，圆的面积的“微元”是圆的周长，如图:


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圆的面积其实就是把圆的面积微元（圆周长）按半径积分（0为积分下限，半径长为积分上限）的结果 。
再比如三角形的面积s=1/2ah ,是将三角形取“面积微元”，如平行于底做一系列平行线，得到面积的“微元”——比例线段 。再将微元函数（比例线段长），按高h积分（0位积分下限，h为积分上限）得到三角形的面积：
为了计算，我们先要建立一个积分变量的x轴，原点为O,正方向竖直朝下，考虑过轴上任意一点x处的平行线（微元分割线），其长度为f(x)


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由相似可知：


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所以


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这里f(x)(即比例线段长)就是三角形面积的微元函数，将f(x)按高h积分便得到三角形的面积：


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类比面积，我们可以用积分来求体积，比如正方体的体积


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将正方体取“体积微元”，如分成无数个平行于底面的平行“切片”，切片的面积为 f(x)(即体积的微元函数)，这里的f(x)是常数函数，f(x)= a2,将f(x)按高a积分就得到正方体的体积：


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现在回到正题，为什么锥体体积系数是1/3？
对如下任意锥体：


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我们以顶点O为原点,建立积分变量的x轴(正方向竖直朝下):


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取“体积微元”（平行于底面的平行“切片”），切片的面积为f(x)(即体积的微元函数)，设底面积为s,高为h.因为底面积与截面面积是相似的，由两个相似图形的面积比等于相似比的平方知:


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则


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将f(x)按高h积分得到锥体的体积：


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