初中几何趣题：求套娃三角形的面积

文章插图
如图：三角形ABC三边外接三个正方形EMBA、ACHN、BFGC（图中绿色显示），三个正方形再外接三个正方形LOFE、IMND、GJKH（图中紫色显示）。已知正方形LOFE的面积为2809，正方形GJKH面积为2704，正方形IMND面积为2601 。求三角形ABC的面积
图中的三角形ABC具有任意性，是一题有趣的套娃题目，三角形外面套了两层正方形，已知最外围正方形的面积，求最里面的三角形面积。
如果你想思考一下，可以暂停滚屏，思考1分钟后，再继续。
解法一（代数法）：
为了方便表达，我们在图上标了三角形ABC的三个角和三条边。
把关注点先放到三角形MAN，我们注意到角MAN=180度-角a，运用余弦定理可得：
，化简得：
。。。。（式1）
在三角形ABC中，运用余弦定理可得：
。。。。（式2）
由（式1）+（式2）得：
。。。。（式3）
同理，可以得到：
。。。。（式4）
。。。。（式5）
由（式3）+（式4）+（式5）得到：
。。。。（式6）
进而得到：
我们有
根据三角形面积海伦公式，可以得到新三角形的面积，进而得到三角形ABC的面积。
此处省略具体计算过程，有兴趣的读者可以自行补充。
解法三（几何法）：
如果觉得以上方法都比较繁琐，或者没有学过三角函数，我们可以来一个纯几何的方法。
按以下方式做辅助线：
其中MZ//NZ，BW//CW，可见三角形MAN的面积，是四边形MANZ面积的一半。三角形ABC的面积是四边形BWCA面积的一半。
做两个四边形的高BA1和AV，通过角的计算，发现：
角ZMA+角MAN=180=角MAN+角BAC，所以，角ZMA=角BAC
因此三角形BAA1与三角形AMV全等，BA1=AV
四边形MANZ与四边形BWCA面积相等，进而三角形ABC的面积与三角形MAN相等。
剩下就跟方法二一样，通过海伦公式就可以计算了。
有兴趣的读者，可以自行完成
你学会了吗？如果你有其他解法，也可以在评论区留言哦。
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