用代数法求解四次方程的通解四次方程通解公式

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【用代数法求解四次方程的通解四次方程通解公式】我们在中学都学过二次方程的解法。二次方程是只涉及一个变量的二阶多项式方程。在这篇文章中，我将展示如何推导三次方程和四次方程的解。精确的解（或多项式的根）可以通过代数或三角学的方法找到（本文将仅限于代数方法）。
三次方程从古巴比伦人、希腊人、中国人、印度人和埃及人开始，三次方程已经被研究了几个世纪。最古老的三次方程是著名几何问题的代数版本，即所谓的德里安问题（ Delian problem）（相当于求解方程x3=2）。

图1：列奥纳多·达·芬奇尝试解决德里安问题，但是失败了

一些著名的数学家解决了三次方程的特殊情况，但直到16世纪才找到通解。这个解决方法首先由意大利博物学家杰罗拉莫·卡达诺（Gerolamo Cardano）在他重要的代数书《Ars Magna》中发表。

图2

然而，卡达诺并不是最初的发现者。第一个找到三次方程解的是意大利文艺复兴时期的数学家西皮安·德尔·费罗（Scipione del Ferro）。德尔·费罗把他的公式传给了他的学生、数学家安东尼奥·费奥雷。

图3：从左到右分别是，西皮安·德尔·费罗，尼科洛·塔尔塔利亚和杰罗拉莫·卡达诺。

意大利数学家和工程师尼科洛·塔尔塔利亚也独立地发现了三次方程的通解。后来，他被卡达诺说服，在卡达诺发誓永远不会出版的条件下，公开了他的方法。
然而，卡达诺注意到塔尔塔利亚的解有时涉及我们现在所称的复数，他并没有真正认识到结果的全部含义。意大利数学家拉斐尔·邦贝利（Rafael Bombelli）后来详细研究了这个问题。因此，邦贝利被许多人认为是复数的发现者。
四次方程数学家洛多维科·德·法拉利（Ludovico Ferrari）在1540年解出了四次方程。然而，正如我们将要看到的，四次方程的解需要三次方程的解。因此，它后来才在卡达诺的《 Ars Magna》中发表。

图4：数学家洛多维科·德·法拉利

现在我们将展示如何找到四次方程的通解。我们从三次方程开始，因为要解四次方程需要用到三次方程的结果。
求解三次方程
我们的目的是演示如何求解以下三次方程：

式1

这个方程式叫做卡达诺公式。尽管它们比一般的三次方程（有二次项）要简单，但任何三次方程都可以通过变量代换简化为卡达诺公式。

图5：三次多项式的例子

式1的左边是一个多项式函数p(z)的例子。式1是对应于多项式函数p(z)的多项式方程。方程的零点称为根。
为求式1中的z，我们首先选择两个辅助变量u和v，使u + v = z，然后将这个表达式代入式1：

式2：将u + v = z代入式1的结果。

现在，u和v可以有任何值，只要它们的和是z，对于u和v最好的选择应该是满足：

式3：最好的u和v的选择。

因为有了这个选择，式2中的中间项就消失了。我们得到了一个方程组：

式4：将uv=-p/3代入式2，我们得到了这个方程组

现在定义：

式5：z和w的定义。

方程组变成：

式6：利用式5得到式4中的方程组。

式6表示二次方程的解。变量z和w就等于：

式7：式6解对应的二次方程的解。
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